선형 조합(Linear combination)
벡터 좌표를 표현함에 있어서 몇가지 용어가 나옵니다.
먼저
i_hat : 오른쪽 방향의 길이 1벡터, x축의 단위벡터(unit vector).
j_hat : 위쪽 방향의 길이 1벡터, y축의 단위벡터(unit vector).
이 두개는 좌표계의 기저(basis)라고 부릅니다.
그리고 결국 2차원 평면 상의 하나의 벡터는 이 기저벡터 두개를 스케일링 하고 더한 결과라고 볼 수가 있습니다.
모든 벡터는 이 기저 벡터로 구성되어 있기 때문에 기저(basis)라고 부르는 것입니다.
위의 벡터 경우는 i_hat과 j_hat을 각각 3, -2와 스케일링하여 더한 벡터라고 볼 수가 있습니다.
선형 조합은 위와 같이 두개의 벡터를 스케일링하고 더하는 것을 의미합니다.
만약 기저가 하나 늘어난다면 어떤 표현이 될까?
아마 3차원 상의 벡터를 표현할 수 있게 될 것이다.
Span
방향이 다른 두개의 벡터만 있다면 선형 조합을 통해 평면의 어느 벡터든 표현을 할 수 있습니다.
하지만 만약 두 벡터의 방향이 같다면 직선적인 표현 밖에 못할 것이고,
두 벡터 모두 길이가 0이라면 점으로 밖에 표현이 안됩니다.
이렇게 두 벡터의 선형 조합을 통해 나타날 수 있는 결과의 집합을 Span이라고 합니다.
2차원에서의 방향이 다른 두 벡터의 span은 평면 그 자체 였고, 방향이 같으면 선이었습니다.
그렇다면 3차원 상에서 방향이 다른 세 벡터의 span은 뭘까요?
역시 3차원 좌표 전체가 될 것입니다. 만약 하나의 벡터가 고정되어 있다면 평면이겠죠.
하나의 벡터가 기존의 span에 차원을 하나 추가해주는게 가능하다면 이를 선형 독립성(Linear independent)라고 합니다.