벡터
선형 대수의 구조는 벡터로 이루어집니다.
근데 이 벡터가 학문에 따라 세가지 관점에서 해석이 가능합니다.
1. 물리학
2. 컴퓨터 과학
3. 수학
이렇게 세가지 입니다.
먼저 물리학 관점에서의 벡터는 공간에서의 화살표라고 할 수 있습니다.
벡터는 방향과 길이로 이루어져 있는데, 이 두가지가 같은 벡터라면 평면 좌표상 어디에 있든 같은 벡터라고 할 수 있습니다.
다음으로 컴퓨터 과학 관점에서 벡터는 순차 숫자 리스트입니다. 여러 데이터를 리스트처럼 정리한 것을 벡터로 보는거죠. 여기서 데이터의 순서가 중요합니다. 내용이 같더라도 순서가 다르면 다른 벡터.!
마지막 수학의 관점에서 벡터는 좀더 개념을 일반화 시킵니다. 여러 가지 연산에 부합한다면 무엇이든 벡터가 될 수 있는거죠
선형대수학에선 하나의 벡터가 존재한다고 하면 일단 그 벡터는 뿌리를 원점에 둔 벡터입니다. 물리학에서 보는 벡터랑 약간 차이가 있습니다.
그리고 그 벡터의 좌표를 숫자들의 리스트라는 관점으로 봅니다.
위와 같이 2차원의 좌표 평면 위에 원점을 뿌리로 두는 벡터가 하나 있습니다.
그리고 왼쪽의 숫자쌍은 원점에서 시작한 벡터의 끝을 가르킵니다.
위의 숫자가 x, 아래가 y의 방향입니다.
일반적으로 좌표를 사용하면 (-2, 3)처럼 표현이 가능한데 이건 단순히 '점'의 개념이기 때문에 벡터는 이것과 차이를 두기 위해 [ ] 기호를 사용합니다.
3차원은 x,y축 외에 z축이 하나 늘어났다는 점 말고는 같습니다.
여기서의 벡터를 표현하자면 왼쪽과 같습니다.
이처럼 3차원에서의 모든 벡터는 세개의 숫자쌍으로 이루어져있고
세개의 숫자쌍은 하나의 벡터를 나타냅니다.
벡터의 합
역시 원점을 뿌리로 두는 두개의 벡터 v, w가 있습니다. 이 두 벡터의 합을 구하려고 합니다.
그러려면 아무 벡터의 뿌리를 다른 벡터의 끝으로 이동시켜서 이어지게 합니다.
여기선 w벡터를 이동시켰습니다.
그리고 새로운 벡터를 만드는데 뿌리는 원점에 두고 끝은 w벡터의 끝으로 이어지게 만듭니다.
이게 v,w 두 벡터의 합입니다.
앞서 선형대수학에선 기본적으로 모든 벡터의 뿌리는 원점이라고 했는데
여기선 그 뿌리를 이동시키는 과정이 나옵니다.
이 과정을 그냥 특정한 방향과 거리를 가진 연속적인 움직임이라고 봅시다.
수직선 상에서 5+(-2)를 하면 오른쪽으로 5칸갔다가 왼쪽으로 2칸을 가는 과정 끝에 3이라는 지점에
다다릅니다.
이와 같은 개념으로 두개의 벡터 표현을 더한다면 X좌표를 1+3 만큼 이동하고
Y좌표를 2+(-1) 만큼 이동시켜 나온 수들의 리스트가 바로 두 벡터의 합인 것입니다.
스케일링(Scaling)
스케일링이란 벡터의 길이를 변화시키거나 방향을 뒤집는 것을 의미합니다.
벡터와 실수의 곱으로 이루어집니다. 양수와 벡터의 곱은 길이만 변하게 됩니다.
여기서 만약 곱해지는 값이 음수라면 길이가 조정되는 것과 더불어 방향이 반대로 향하게 됩니다.
여기서 벡터와 곱해지는 값이 스칼라(Scalar)입니다.
연산은 단순합니다.
스칼라를 벡터의 요소에 각각 곱해주면 됩니다.