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3B1B Nonsquare matrices as transformations between dimensions

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차원 간 변환으로서의 비사분 행렬 | 제8장, 선형대수의 정수

멘탈 모멘텀만 주고 너가 알아서 찾아봐

차원들 사이에서의 변환들을 얘기하기에 확실히 괜찮은 것 같아. 2차원 벡터를 3차원 벡터로 변환하는 것들이야.

다시 말하지만, 선형(linear)이라는 것은 격자선이 평행하고 균등간격을 가질 때야, 그리고 원점은 계속 원점이지.

<왼쪽 : 입력 값 : 2차원 공간> <오른쪽 : 결과 값 : 3차원 공간>

둘은 완전히 다른, 연결되지 않는 공간에 존재하는 벡터야. 이런 변환행렬은 우리가 여지껏 다뤘던 행렬과는 상당히 달라. 기저벡터의 움직임을 살펴보자. 행렬의 열들이 그 좌표값이 되겠지.

<입력 값> <출력 값 (변화에 대한 결과)>

i-hat : (1,0)→(2,-1,-2)

j-hat : (0,1)→(0,1,1)

행렬의 구조 : 3x2

행렬의 열 공간 : 3차원 공간의 원점을 가로지르는 2차원 평명상의 모든 벡터

rank : full rank (이 열공간의 차원수가 입력공간의 차원수가 같기 때문이야)

3x2행렬의 결과는 거칠게 말하면,

기하학적 해석으로 2차원 공간을 3차원 공간으로 매핑하는 것으로 볼 수 있어.

(역주 : 평면→평면이지만, 3차원에서 볼 때 기울여짐)

두 열이 입력공간의 두 기저벡터를 말하는 거라서 기저벡터의 도착지인 각 열의 3개의 행은 3개의 다른 좌표값을 나타내.

•

3개의 열 : 3개의 기저벡터를 가진 공간에서 시작했다는 뜻으로, 3차원에서 시작했다는 말이지. 

•

2개 행 :  세 기저벡터의 변환후를 말해주는 것으로 여기선 단지 좌표값 2개만을 가지고 있어. 그래서 2차원으로 이동해야만 해. 

따라서 3차원 → 2차원 공간으로 변환 (참고:일종의 투사, 투영)

* 2차원에서 1차원으로 이동하는 변환도 가능해.

1차원 공간은 단지 하나의 수선이지. 그래서 2차원 벡터입력을 받아 결과로 숫자 하나를 내놓지. 격자선이 평행하고 균등간격을 유지한다는 점에서 볼 때 여기서 일어나는 축소변환은 좀 골치아퍼.

그래서 이 경우엔, 선형(linearity)의 의미를 시각적으로 살펴볼게.

균등 간격의 점이 찍힌 선을 생각해봐. 균등 간격을 유지하면서 수선으로 매핑하는거야.

이런 변환들 중 하나는 1x2행렬로 표현될거야. 두 열들 각각은 하나의 숫자만 갖지. 두 열은 기저 벡터의 도착지를 나타내고. 그래서 각 열들은 하나의 숫자만 있으면 되고, 그 숫자가 기저벡터의 도착지야.