3차원 선형 변환 (Three-dimensional linear transformations)
이번 강의에선 3차원 선형변환에 대해 다룰 것 입니다.
3차원 공간
우리는 문제없이 자연스럽게 3차원 공간으로 시각화할 수 있다.
아래 그림과 같이 격자로 표현된 3차원 공간을 상상해보자
1.
격자선은 평행하고
2.
간격이 일정하고 원점이 고정되어 있다.
3.
2차원에서 마찬가질 벡터의 끝점을 대신하다고 생각하자
그리고 우리가 하는 것은 '움직여서'대응되는 결과벡터로 만드는 것이다. 그리고 2차원에서와 마찬 지로, 이 변환은 기저벡터의 움직임을 알면 완벽하게 서술 될 수 있다.
3차원에서 세 개의 표준 기저벡터를 표시하는 일반적인 방법
근데 세 개의 표준 기저벡터를 표시하는 일반적인 방법이 있다.
x축 단위벡터 : x-hat,
y축 단위벡터 : j-hat
z축 단위벡터 : k-hat
3차원 벡터 변환
어떤 벡터[x,y,z]가 변환 후 어디가 되는지는 2차원에서 했던 방법이랑 거의 동일해. 각 좌표값을 스케일링 벡터로 보면 돼. 각 기저벡터들은 그 벡터로 스케일링해서 합치면 원하는 결과벡터를 얻게된다.
2차원 경우와 마찬가지로, 중요한 점은 이렇게 스케일링과 더하는 절차가 변화 전-후에도 같다는 것이야. 그래서 벡터의 변환결과를 알려면, 벡터의 좌표값을 행렬의 대응되는 열과 곱한 다음 그 결과들을 합하면 돼.
두 행렬의 곱셈
두 행렬의 곱셈도 이와 유사하다.
두 개의 3x3행렬을 곱할 때마다 생각할 때는 오른쪽 행렬을 먼저 처리하고 그리고 나서 왼쪽 행렬을 적용한다.
요즘들어 3차원 행렬의 곱셈이 실제로 컴퓨터 그래픽이나 로봇 분야에서 꽤 중요해졌다
3차원에서 여러회전들을 서술하기 상당히 어렵기 때문이다.
그런데 작은 변환들을 쪼개고 그것의 결합으로 생각하면, 회전을 다루기 좀 더 쉬워진다. 수치적으로 행렬곱셈을 수행할때는, 2차원 예제랑 거의 똑같다.