선형 연립방정식 풀이법인 크래머 공식의 기하학적 의미에 대해 알아보자
(행렬식, 내적과 이중성, 역행렬과 랭크, 영공간에 대한 이해가 필요하다)
행렬식의 기하학적 해석
2 x 2 행렬식 값은 평행사변형의 넓이, 3 x 3 행렬식 값은 평행육면체의 부피와 같다.
미지의 벡터[x; y]가 주어진 행렬에 의해 선형 변환되면 결과값은 [-4; -2]가 된다.
이 행렬의 열은 벡터가 변환 시 어떻게 변하는지 알려준다.
어떤 입력값 [x; y]가 결과값인 [-4; -2]에 다다를 수 있을 지는 주어진 결과 벡터가 행렬의 열들의 선형 결합임을 알아야 한다.
얻어질 답의 형태는 변환 후 선형 공간이 하위 차원으로 줄어드느냐 않느냐로 결정된다. (행렬식이 0인이 여부 확인)
det(A) = 0
행렬 A의 열벡터가 동일직선상에 있는 경우, 어느 입력값도 결과값에 도달하지 않거나, 모든 입력값이 도달하며 행렬식 값인 평행사변형의 넓이는 0이다.
det(A) ≠ 0 라고 전제
모든 입력값은 하나의 결과값에, 모든 결과값은 하나의 입력값에 도달한다.
잘못됐지만 옳은 방향의 접근
기저 벡터 [1; 0], [0; 1]과의 내적으로 각각 미지 벡터의 x, y 좌표를 구할 수 있다.
변환 후, 기저 벡터가 변환되어 만들어진 미지의 벡터의 변환 벡터의 내적 역시 x, y좌표가 존재한다.
그 결과를 통해 우리는 벡터가 어떤 선형 결합으로 이루어질지 알게 된다.
→ 전혀 사실이 아니다.
대부분의 벡터들에 대해 선형 변환 이전과 이후의 내적은 매우 다르다.
ex)
•
두 벡터 모두 양의 방향을 가리키고 내적이 양의 실수인 경우, 변환 후 서로 멀어지게 되면 둘의 내적이 음의 실수가 된다.
•
두 벡터가 수직 관계이고 내적이 0인 경우, 변환 후에도 두 벡터가 수직으로 남아있고 내적이 0일 거라는 보장이 없다.
∴ 내적은 보존되지 않는다.
직교 변환
내적이 보존되는 변환
기저 벡터의 수직, 길이까지 유지된다.
→ 회전 변환 행렬: 고정된 움직임에 대응하는, 줄거나 늘어나는 변형이 없다.
직교 행렬의 선형 방정식은 매우 쉽게 풀리지만 대부분의 선형계에선 성립하지 않는다.
크래머 규칙
직교 행렬처럼 변환 후에도 입력 벡터에서 변하지 않고 남아 있는 기하학적 관점
기하학적 해석
평행사변형 넓이 = 밑변 x 높이
위 이미지에서 평행사변형의 넓이는 각각 벡터의 y좌표와 x좌표를 나타낸다.
3차원의 경우 역시 i-hat과 j-hat이 만드는 밑면이 정사각형인 평행육면체의 부피는 높이 z와 같다.
왜 좌표들을 넓이나 부피의 관점으로 받아들일까?
행렬 변환을 적용했을 때 평행사변형의 넓이는 유지되지 않고 더욱 커지거나 줄어든다.
모든 넓이는 변환 행렬의 행렬식 배만큼 일정한 양으로 증가된다.
