행렬식 (The determinant)
이번 강의에선 선형변환을 행렬식으로 표현하는 방법을 배울 것이다.
우선 예를 들어 이 정사각형 아래는 i-hat 벡터고 왼쪽은 j-hat 벡터이다. 변환 후를 보면, 2x3 크기의 직사각형이 되었다.
처음엔 영역 1에서 시작 되었지만 6이 되었다.
New area = 3 X 2 = 6
이 선형변환은 factor6으로 영역을 확장시킨다고 말할 수 있다.
또한 기울이는 선형변환에서는 넓이가 같다.
우리는 하나의 단위 정사각형의 영역이 얼마나 변하는지만 알면 공간 상 어떤 지역이 어떻게 변할지를 예측할 수 있게 된다.
격자에 한 정사각형이 어떻게 바뀌는지 살펴보자
격자의 다른 정사각형들에도 마찬가지 변화가 똑같이 일어난다는 것을 깨닫게 될 것이다. 크기는 중용하지 않다.
이런 격자선이 평행하고 균등한 거리를 유지한 채 변화하기 때문이다.
정사각형 아닌 임의 형태는?
임의 형태를 격자의 정사각형으로 꽤 잘 근사할 수 있다.
그리고, 작은 격자 정사각형들이 이루는 영역은 하나의 영역과 동일하게 스케일링 되기 때문에, 전체 영역도 또한 한 개와 같은 비율만큼 스케일링 된다.
이 특별한 스케일링 펙터는
선형 변환에 의한 영역의 변화를 나타내는 팩터로서 행렬식(determinant)라고 부른다.
1/2로 축소
모든 공간이 찌부려뜨려져서 선이 됨.
어쩌면 한 점이 될 수도 있다. 그럼 어느 영역이든 크기가 0이 될 것이다.
행렬식의 온전한 개념으로 볼 때, 음수(-)값을 허용한다.
그럼 영역을 스케일링할 때 음수값은 무엇을 의미하는가?
바로 방향과 관계가 있다.
공간의 방향 뒤집기라고 한다. (종이 한 장 뒤집기)
공간이 찌그러졌다가 0을 거쳐 방위가 반전이 됨.
3차원에서는?
부피(volume)가 얼마나 스케일링 되는지 알려준다.
하나의 1x1x1x큐브에 집중하자
이 정육면체 모서리에 단위벡터가 놓여있다.
2차원과 마찬가지로 기울어진다.
그리고 이것의 명칭이 따로 있는데 '팽형육면체'이다.
이 큐브는 부피가 1이고
행렬식 값은 어떤 부피이든지 스케일링 펙터를 알려주니깐 행렬식 값을 마치 평행육면체의 부피값으로 생각해도 될 것이다.
부피 1짜리에서 바뀐 큐브로
부피가 0인 의미는 모든 공간이 찌부려뜨려서 부피 0을 만든다는 의미이고,
찌부려져서 평면이나, 선, 가장 극단적인 경우에는 단일 점이 되는 경우이다.
이 말을 받아들일 때 그 행렬의 열 들은 선형의존(linearly dependent)하다라고 할 것이다.
-챕터2장 참고-
음수 행렬식값일 때는 어떨까?
3차원에서는 무슨의미여야 할까?
3차원에서 방향을 설명한는 방법으로 오른손 규칙이 있다.
오른손의 집게손가락이 가리키는 방향이 i-hat의 방향이 된다. 가운데 손가락이 가리키는 방향은 j-hat방향,
그리고 엄지손가락이 가리키는 방향은 k-hat의 방향이다.
여전히 변환 이후에도 이 방향이 유지되려면, 방향이 바뀌지 않고 양수값을 가진 경후다. 반환 이후에 왼손으로 바꿔야 하는 경우에는 방향이 반전된거고, 행렬식 음수값이된다.
행렬식 계산하는 방법
a,b,c,d 변수로 이루어진 2x2행렬에서 공식은 (a*b)-(b*c)였다.
b,c가 0이 아니라면 어느정도 찌그러져 있는지 알려준다.
여러 공식들
