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3B1B L.A. ch10~11

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CH10

챕터 9 : 내적

이번 챕터는 외적

2차원 기준

벡터v를 복사하여 4개의 벡터로 이루어진 평행사변형을 만듦

벡터v * 벡터w는 평행사변형의 면적을 뜻함

v 오른쪽 , w 왼쪽 : 양수(positive)

v 왼쪽 , w 오른쪽 : 음수(negative)

순서 바뀌면 '-' 곱한다

순서를 아는 쉬운 방법은 두 기저벡터를 i^ * j^ 의 순서대로 외적을 구해놓으면 됨

i가 오른쪽에 있고 i^ × j^ = 1 임을 떠오르면 될 것.

단순 계산으로 하는 방법 또한 존재한다.

기저 벡터 i햇과 j햇을 선형변환 한 것이 v와 w이므로

해당 v와 w로 행렬식을 계산하면 된다.

조금 더 직관적으로 다가가면

외적의 값은 두 벡터가 수직인 경우, 혹은 수직에 가까울 수록,

두 벡터가 같은 쪽으로 치우쳐져 있는 경우보다 클 것이다.

평행사변형의 면적이 수직에 가까울수록 최대값이 되기 때문이다

조금 더 만지작 거려서 하나 벡터의 크기를 3배로 늘리는 작업을 진행시키면

평행사변형의 면적도 3배가 됨.

짤의 식처럼 된다.

위에 언급한 내용들이 수학적으로는 맞는데 정확하게는 외적 정의가 아님

원래 외적이란 3차원인 두 벡터를 결합해서 새로운 3차원 벡터를 만들어내는 것이다.

다시한번 평행사변형을 이용해 알아볼 것

예를 들어, 평행사변형의 면적이 2.5라고 가정해보자

저 새로운 벡터의 길이가 바로 평행사변형의 면적이다.

그리고 이 새로운 벡터는 평행사변형에 수직인 방향이다.

근데 여기서 "위or아래" 라는 질문이 들어오는데

여기서는 '오른손의 법칙' 을 사용해야 할 것이다.

(오른쪽 검지 손가락은 v, 중지는 w, 그리고 엄지가 가르키는 방향이 외적의 방향이 된다.)

이를 일반화한 식이 존재하지만 더 이해하기 좋은 방법이 존재한다.

3차원 행렬에 두 번째와 세 번째 열을 v와 w 벡터로 채우고, 첫 번째 열에는 기저벡터 i햇 j햇 k햇을 각각 채워넣고 행렬식을 계산하는 것.

행렬의 요소값으로 벡터를 넣는다는 것이 이상하게 보일 지는 모른다.

표기적 트릭이라고 하는데

기저벡터들을 하나의 숫자로 간주하고 계산하면, 기저벡터들의 선형 조합식을 얻게 된다는 것이다.

그리고 이 선형변환으로 표현된 벡터는 v와 w벡터에 수직인 유일한 벡터가 된다.

해당 평행사변형 넓이와 같고 오른손 법칙을 따르는 유일한 벡터다.

또한 이를 이해하려면 duality, 이중성이라는 개념을 이해해야 한다.

CH11

ch10에 나왔던 "새로운 벡터의 길이가 바로 평행사변형의 면적이다" 및 오른속 법칙과 관련된 내용들을 증명해볼 수 있

지만 좀 복잡하다.

우선 이중성의 개념을 한 번 집고 넘어가보도록 하자.

어떤 공간을 수선으로 선형변환할 때 마다 그 공간의 특정 한 벡터와 연관이 있다.

선형변환을 수행하는 것이 그 특정 벡터의 내적을 구하는 것과 같다는 것이다.

이는 수차적으로 하나의 변환은 하나의 행이 있는 행렬로 설명되고 각 열은 기저벡터가 변환된 숫자를 알려주기 때문이다.

계산적으로는 v와 행렬을 옆으로 돌려서 얻은 벡터의 내적을 구하는 것과 동일하고

중요한 것은

수선에 대한 선형변환을 발견할 때마다 그 변환을 '이중 벡터' 라 불리는 어떤 벡터와 일치시킬 수 있다는 것

외적은 이러한 예시 중 하나이다.

3차원에서 수선으로의 선형변환을 정의하고

두 벡터 v와 w로 정의하고

그 변환을 3d 공간에서의 "이중 벡터" 로 연결시키면,

그 이중 벡터는 v와 w의 외적이 되도록 해야.

위의 것을 이해해야 외적의 기하학적 의미와 계산 사이의 관계를 명확하게 할 수 있기 때문.

우선 3차원 공간에서의 외적 계산을 이해할 때,

2차원으로 하는 외적 계산과 똑같이 하는 그러한 실수가 나타날 수 있다

"3개의 벡터를 3*3행렬로 만들고

이 행렬의 값을 구하고

평행사변형의 부피를 구한 후 부호를 결정하는 방식."

물론 저렇게 해서 나온 결과는 외적이 아니고

실제 3D 외적은 두 벡터를 취해 하나의 벡터를 생성한다.

근데 되려 위의 오류는 진짜 외적이 무엇인지 이해하는 데 도움이 된다.

첫번째 벡터 u가 변수라고 가정해보자.

xyz는 변수이고 v와w는 고정된 상태이다

저 행렬식은 3차원에서 수선으로 가는 함수가 된다.

그러면 [x,y,z] 에 대해 벡터 v와 w에 의해 정의된 평행 육면체라 볼 수 있다.

결정적으로 '선형' 이라는 특성이 중요한데,

3차원에서 1차원으로 가는 함수이므로

이 변환을 기호화하는 1*3 매트릭스로 표현할 수 있다.

그리고 이원성의 전체 아이디어가 다차원에서 일차원으로의 변환에 대해 특별한 점은

그 메트릭스를 세로로 돌릴 수 있기 때문에 어떤 벡터의 내적으로써 전체 변환을 해석한다는 것이다.

p를 그 특별한 3d 벡터라고 하자

p와 어떤 벡터 [x,y,z] 사이의 내적을 취하면

위와 같이 xyz를 첫 열에 넣고 다른 두 열에 벡터v와 w의 좌표를 놓은 후 행렬식을 계산하는 것과 같은 결과를 갖는다.

계산적으로 뭔 뜻인지 알아보자면

에서

p1=v2*w3−v3*w2

p2=v3*w1−v1*w3

p3=v1*w2−v2*w1

위의 조합이 우리가 찾고 있는 벡터p의 좌표가 될 것이다

????????????? (뇌 기동불가)

이러한 계산 방식은 다음 질문에 답하는 하나의 방법으로 생각될 수 있을 것이다.

[xyz]를 행렬의 첫번째 열에 두고

벡터v와 w의 좌표를 다른 두 열에 놓은 후, 행렬식을 구한 결과와 같은 벡터p는 누구인가?

계산대신 기하학적으로 생각해보자.

어떤 3d 벡터p가 다음과 같은 특별한 속성을 갖는가

벡터p와 다른 어떤 벡터[x,y,z]의 내적을 구한 것과 벡터v,w[x,y,z] 로 정의된 평행육면체의 부피와 같아지는 벡터p는 무엇인가