Linear Transformation (선형 변환)
변환(transformation)은 함수(function)과 같다고 볼 수 있습니다.
어떤 벡터를 선형 변환을 통해 다른 벡터로 바꾸는 것입니다.
그 과정을 2차원 좌표 평면에서 나타낸다면
여기 흰 선이 축입니다.
그리고 축에 평행인 선들을 여러개 그어 놓은 것인데
이 평면을 오른쪽 그림과 같이 변환을 시킨다면 이를 선형 변환이라고 합니다.
이를 표현해보면
1. 모든 선들은 변환 이후에도 휘지 않고 직선이여야 한다.
2. 원점은 변환 이후에도 여전히 원점이여야 한다.
이 두가지 속성을 만족시킨다면 이를 선형 변환이라고 합니다.
위의 그럼 처럼 곡선으로 변형시키거나 원점이 다른 곳으로 이동을 한다면 이는 선형 변환이 아닙니다.
이와 같은 변환도 선형 변환이 아닙니다.
수평 수직선은 변환 이후에도 직선이지만
대각선은 곡선이 되기 떄문입니다.
이렇듯 선형 변환이라면 격자 라인이 변형 이후에도 평행하고 동일한 간격으로 있어야 합니다.
과정
그렇다면 과연 선형 변환을 한 벡터를 어떤 식으로 구할 수 있을까요?
여기 [-1, 2]라는 벡터는 두개의 기저 벡터로 표현이 가능합니다.
v = -1î + 2j 처럼 말이죠.
<변환>
해당 평면처럼 선형 변환을 한 뒤의 벡터를 구하고 싶다면 두 기저 벡터가 어떻게 변했는지 체크를 하면 됩니다.
î 벡터는 [1, -2]의 위치로, j 벡터는 [3,0]의 위치로 이동을 하였습니다.
그렇다면 벡터 v는 기존의 식에 있는 i,j에 해당 기저 벡터들이 이동한 좌표를 넣어주면 됩니다.
좀 더 일반화 시켜보겠습니다.
2x2 Matrix vector
여기 두 기저 벡터 i, j 의 좌표가 있습니다. 그리고 기저벡터로 표현이 가능한 임의의 벡터가 하나 있습니다.
이를 좀 전에 했던 공식으로 표현해보겠습니다.
결국 선형 변환은 행렬과 벡터의 곱으로 표현을 할 수 있는 것이었습니다.